Koshe Dekhi 1.1 class 10 | কষে দেখি ১.১ | WB Class 10 Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 Solution | মাধ্যমিক দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ সমাধান | Class 10 Quadratic Equation Solution | Madhyamik Koshe Dekhi 1.1 Solution
Madhyamik Math Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1
Madhyamik Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 Ex 1 Solutions
Ex 1. নিচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি ।
(i) x2-7x+2
(ii) 7x5-x(x+2)
(iii) 2x(x+5)+1
(iv) 2x-1
সমাধান:
1.(i) x2-7x+2
প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালার চল x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
1.(ii) 7x5-x(x+2) =7x5-x2-2x
যেহেতু এটির চল x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
1.(iii) 2x(x+5)+1 =2x2+10x+1
যেহেতু প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালার x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
1.(iv) 2x-1
এটির চল x এর সর্বোচ্চ ঘাত 1, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
Madhyamik Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 Ex 2 & 3 Solutions
Ex 2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax²+bx+c=0,যেখানে a,b,c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
2.(i) $x-1+\frac{1}{x}=6 (x \neq 0)$
⇒ x2-x+1=6x
⇒ x2-x+1-6x=0
⇒ x2-7x+1=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 আকারে লেখা যায় যেখানে a=1, b=-7, c=1
2.(ii) $x+\frac{3}{x}=x^2 (x \neq 0)$
⇒ x2+3=x3
⇒ x3-x2-3=0
যেহেতু x এর সর্বোচ্চ ঘাত 3, তাই প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 আকারে লেখা যায় না।
2.(iii) x2-6√x+2=0
x2-6√x+2=0
⇒ x2-6x1/2+2=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 আকারে লেখা যায় না।
2.(iv) (x-2)2 = x2-4x+4
⇒ x2-4x+4 = x2-4x+4
∴ প্রদত্ত সমীকরণটি একটি অভেদ, তাই এটিকে ax2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা যায় না।
Ex 3. x6-x3-2=0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
x6-x3-2=0
⇒ (x3)2-x3-2=0
⇒ z2-z-2=0 যেখানে z=x3
∴ সমীকরণটিকে z=x3 এর সাপেক্ষে দ্বিঘাত সমীকরণ প্রকাশ করা গেল।
Madhyamik Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 Ex 4 Solutions
4(i). (a-2)x2+3x+5=0 সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
যদি a-2=0 হয়, তাহলে (a-2)2+3x+5=0 সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না
a-2=0
⇒ a=2
∴ a=2 এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
4(ii). $\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x} (x \neq 0, x\neq 4)$ -কে ax²+bx+c=0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণ এর আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
$\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}$
⇒ 3x2=4-x
⇒ 3x2+x-4=0
∴ x এর সহগ 1.
4(iii). 3x2+7x+23 = (x+4)(x+3)+2- কে ax2+bx+c =0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি ।
সমাধান:
3x2+7x+23 = (x+4)(x+3)+2
⇒ 3x2+7x+23 = x2+4x+3x+12+2
⇒ 3x2+7x+23 = x2+7x+14
⇒ 3x2+7x+23-x2-7x-14 = 0
⇒ 2x2+9 = 0
⇒ 2x2+0x+9 = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে a=2, b=0, c=9
4(iv). (x+2)3=x(x2-1) -কে ax2+bx+c=0, (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি এবং x2, x ও x0 এর সহগ লিখি।
সমাধান:
(x+2)3=x(x2-1)
⇒ x3+3x2.2+3x.22+23 =x3-x
⇒ x3+6x2+12x+8=x3-x
⇒ x3+6x2+12x+8-x3+x=0
⇒ 6x2+13x+8=0
∴ (x+2)3=x(x2-1) সমীকরণটিকে ax2+bx+c আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে a≠0 এবং x² এর সহগ 6 , x এর সহগ 13 এবং x0 এর সহগ 8
Madhyamik Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 Ex 5 Solutions
Ex 5. নিচের বিবৃতিগুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
5(i). 42 -কে দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধান:
ধরি , এক অংশ x
সুতরাং অপর অংশ 42-x
শর্তানুসারে, আমরা পাই
x2=42-x
⇒ x2+x-42=0
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ টি হল x2+x-42=0
5(ii). দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
সমাধান:
ধরি, একটি সংখ্যা x
যেহেতু দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার বিয়োগফল 2, অপর সংখ্যাটি হবে x+2
শর্তানুসারে, আমরা পাই
x(x+2)=143
⇒ x2+2x-143=0
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+2x-143=0
5(iii). দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
সমাধান:
ধরি , একটি সংখ্যা x
যেহেতু দুটি ক্রমিক সংখ্যার বিয়োগফল 1, অপর সংখ্যাটি হবে x+1
শর্তানুসারে, আমরা পাই
x2+(x+1)2 =313
⇒ x2+x2+2x+1=313
⇒ 2x2+2x+1-313=0
⇒ 2x2+2x-312=0
⇒ 2(x2+x-156)=0
⇒ x2+x-156=0
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+x-156=0
Madhyamik Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 Ex 6 Solutions
Ex 6. নিচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
6(i). একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।
সমাধান:
ধরি , আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x+3 মিটার
যেহেতু আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =√(দৈর্ঘ্য2 +প্রস্থ2), আমরা পাই
$\sqrt{x^2+(x+3)^2}=15$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
x2 +(x+3)2 =225
⇒ x2+x2+6x+9=225
⇒ 2x2+6x+9-225=0
⇒ 2x2+6x-216=0
⇒ 2(x2+3x-108)=0
⇒ x2+3x-108=0
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+3x-108=0
6(ii). এক ব্যাক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আর ও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত ।
সমাধান:
ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য x টাকা
অতএব 80 টাকায় পাওয়া যাবে $\frac{80}{x}$ কিগ্রা চিনি
এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম x-1 টাকা হলে, 80 টাকায় পাওয়া যাবে $\frac{80}{x-1}$ কিগ্রা চিনি
শর্তানুসারে, আমরা পাই
$\dfrac{80}{x-1}-\dfrac{80}{x}=4$
⇒ $\dfrac{80x-80x+80}{x(x-1)}=4$
⇒ $\dfrac{80}{x^2-x}=4$
⇒ 80=4(x2-x)
⇒ 20=x2-x
⇒ x2-x-20=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2-x-20 =0
6(iii). দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি ।একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল । ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশন এ যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
সমাধান:
ধরি , ট্রেনটির গতিবেগ xকিমি/ঘন্টা
আমরা জানি সময়=দূরত্ব/গতিবেগ, তাই ট্রেনটির 300 কিমি যেতে সময় লাগবে $\frac{3000}{x}$ ঘন্টা
যদি ট্রেনটির গতিবেগ x+5 কিমি/ঘণ্টা হয় তাহলে ট্রেনটির 300 কিমি যেতে সময় লাগবে $\frac{300}{x+5}$ ঘণ্টা
শর্তানুসারে, আমরা পাই
$\dfrac{300}{x}-\dfrac{300}{x+5}=2$
⇒ $\dfrac{300x+1500-300x}{x(x+5)}=2$
⇒ $\dfrac{1500}{x^2+5x}=2$
⇒ 1500=2(x2+5x)
⇒ 750=x2+5x
⇒ x2+5x-750=0
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+5x-750=0
6(iv). একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল।
সমাধান:
ধরি, তিনি ঘড়িটি x টাকায় ক্রয় করেছিলেন এবং বিক্রি করেছেন 336 টাকায়
∴ লাভ = ক্রয়মূল্য – বিক্রয়মূল্য = 336-x টাকা
∴ শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয়মূল্য)×100 $\%$ =$\frac{336-x}{x} \times 100 \%$
শর্তানুসারে, আমরা পাই
$\dfrac{336-x}{x} \times 100=x$
⇒ (336-x) × 100=x2
⇒ 33600-100x=x2
⇒ x2+100x-33600=0
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+100x-33600=0
6(v). স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকুলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে ।
সমাধান:
ধরি, নৌকার বেগ x কিমি/ঘণ্টা। যেহেতু স্রোতের বেগ 2km/ঘণ্টা, স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ x+2 কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ x-2 কিমি/ঘণ্টা
যেহেতু সময় = দুরত্ব/গতিবেগ, স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি যেতে সময় লাগে $\frac{21}{x+2}$ ঘণ্টা এবং
স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি ফিরে আসতে সময় লাগে $\frac{21}{x-2}$ ঘণ্টা
শর্তানুসারে, আমরা পাই
$\dfrac{21}{x+2}+\dfrac{21}{x-2}=10$
⇒ $\dfrac{21(x-2)+21(x+2)}{(x+2)(x-2)}=10$
⇒ $\dfrac{21x-42+21x+42}{x^2-4}=10$
⇒ $\dfrac{42x}{x^2-4}=10$
⇒ 10x2-40=42x
⇒ 10x2-42x+40=0
⇒ 5x2-21x+20=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 5x2-21x-20=0
6(vi). আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেহ্মা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে ।
সমাধান:
ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে x ঘণ্টা
∴ মজিদের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে x+3 ঘণ্টা
আবার ধরি, মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ ।
সুতরাং মহিম x ঘণ্টায় কাজ করে 1 অংশ
⇒ মহিম 1 ঘণ্টায় কাজ করে 1/x অংশ
অন্যদিকে, মজিদ (x+3) ঘণ্টায় কাজ করে 1 অংশ
⇒ মজিদ 1 ঘণ্টায় কাজ করে $\frac{1}{x+3}$ অংশ
∴ মহিম ও মজিদ একত্রে এক ঘন্টায় কাজ করে $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}$ অংশ
⇒ তারা একত্রে দু’ঘণ্টায় কাজ করে $2\big(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\big)$ অংশ ।
শর্তানুসারে, আমরা পাই
$2\big(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\big)=1$
⇒ $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}$
⇒ $\frac{x+3+x}{x(x+3)}=\frac{1}{2}$
⇒ $\frac{2x+3}{x^2+3x}=\frac{1}{2}$
⇒ 2(2x+3)=x2+3x
⇒ 4x+6=x2+3x
⇒ x2+3x-4x-6=0
⇒ x2-x-6=0
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2-x-6=0
6(vii). দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেহ্মা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুনফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম।
সমাধান:
ধরি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক x
যেহেতু একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেহ্মা 6 বেশি, সুতরাং একক স্থানীয় অঙ্ক হবে x+6
∴ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি হল = 10x+(x+6)=11x+6
শর্তানুসারে, আমরা পাই
x(x+6)=(11x+6)-12
⇒ x2 +6x=11x+6-12
⇒ x2 +6x-11x-6+12=0
⇒ x2 -5x+6=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2-5x+6=0
6(viii). 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রসস্থ একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
সমাধান:
ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া। সুতরাং, রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 45+2x মিটার এবং রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 40+2x মিটার
শর্তানুসারে, আমরা পাই
$(45+2x) \times (40+2x)$ $- 45 \times 40=450$
⇒ 1800+90x+80x+4x2 -1800=450
⇒ 4x²+170x-450=0
⇒ 2(2x2+85x-225)=0
⇒ 2x2+85x-225=0
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 2x2+85x-225=0